已知函数f(x)=x-alnx+a+bx．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线过点（4，-2），且x=2时，y=f（x）有极值，求实数a，b的值；（2）若函数g（x）=x•f（x）在区间[1e，e2]上单调递增，求实

Question

已知函数f(x)=x-alnx+a+(b)/(x)．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线过点（4，-2），且x=2时，y=f（x）有极值，求实数a，b的值；
（2）若函数g（x）=x•f（x）在区间[(1)/(e)，e2]上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）由题意知，f（1）=1+a+b，
且f′（x）=1-(a)/(x)-(b)/(x2)=(x2-ax-b)/(x2)，则f′（1）=1-a-b，
∵在点（1，f（1））处的切线过点（4，-2），
∴1-a-b=(3+a+b)/(-3)，即a+b-3=0，①
∵x=2时，y=f（x）有极值，
∴f′（2）=(4-2a-b)/(4)=0，即4-2a-b=0，②
由①②解得，a=1、b=2；
（2）由题意知g（x）=x•f（x）=x²-axlnx+ax+b，
则g′（x）=2x-a（lnx+1）+a=2x-alnx，
∵函数g（x）在区间[(1)/(e)，e2]上单调递增，
∴g′（x）=2x-alnx≥0，即alnx≤2x在区间[(1)/(e)，e2]上恒成立，
①当x∈[(1)/(e)，1)时，lnx<0，alnx≤2x化为a≥(2x)/(lnx)，
设h(x)=(2x)/(lnx)，则h′(x)=(2(lnx-1))/((lnx)2)<0，
∴h（x）在[(1)/(e)，1)上递减，则h（x）的最大值是h（(1)/(e)），
则a≥h((1)/(e))=-(2)/(e)，即a≥-(2)/(e)；
②当x∈（1，e²]时，lnx>0，alnx≤2x化为a≤(2x)/(lnx)，
设h(x)=(2x)/(lnx)，则h′(x)=(2(lnx-1))/((lnx)2)，
∴h（x）在（1，e]上递减，在（e，e²]上递增，
则h（x）的最小值是h（e）=2e，即a≤2e；
③当x=1时，alnx≤2x在区间[(1)/(e)，e2]上恒成立，
综上可得，实数a的取值范围是[-(2)/(e)，2e]．