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设A为实对称矩阵,λ1,λn为A的最小和最大特征值,证明:对任意的t∈[λ1,λn],存在单位向量x,使xTAx=t
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设A为实对称矩阵,λ1,λn为A的最小和最大特征值,证明:对任意的 t∈[λ1,λn],存在单位向量x,使xTAx=t
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答案和解析
先设x_1,x_n为A的最小和最大特征值λ1,λn的特征向量,
令y_s=(x_1+s x_n)/|(x_1+s x_n)|
则构造函数
f(s)=y_s^TAy_s=(λ1+s^2λn)/(1+s^2)
可证命题成立
令y_s=(x_1+s x_n)/|(x_1+s x_n)|
则构造函数
f(s)=y_s^TAy_s=(λ1+s^2λn)/(1+s^2)
可证命题成立
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