在直角坐标系中，有点A（0，1），B（5，3），点M、N在x轴上且MN=1，当四边形AMNB周长最短时，求点M、N的坐标．

Question

在直角坐标系中，有点A（0，1），B（5，3），点M、N在x轴上且MN=1，当四边形AMNB周长最短时，求点M、N的坐标．

Answer 1

作点A关于x轴的对称点A′，则A′的坐标为（0，-1），把A′向右平移1个单位得到点B'（1，-1），连接BB′，与x轴交于点N，过A′作A′M∥B′N交x轴于M，如图，
∴MA′=MA，
∵A′M∥B′N，
∴四边形AMNB为平行四边形，
∴MA′=NB′，
∴MA=NB′，
∴AM+BN=BB′，此时AM+BN最小，
而MN与AB的长一定，
∴此时四边形AMNB的周长最短．
设直线BB′的解析式为y=kx+b，
把B（5，3）、B'（1，-1）分别代入得

5k+b=3

k+b=-1

，
解得k=1，b=-2，
∴直线BB′的解析式为y=x-2，
令y=0，则x-2=0，
解得x=2，
∴N点坐标为（2，0），
∵MN=1，
∴M（1，0）．