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在直角坐标系中,有点A(0,1),B(5,3),点M、N在x轴上且MN=1,当四边形AMNB周长最短时,求点M、N的坐标.
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在直角坐标系中,有点A(0,1),B(5,3),点M、N在x轴上且MN=1,当四边形AMNB周长最短时,求点M、N的坐标.
▼优质解答
答案和解析
作点A关于x轴的对称点A′,则A′的坐标为(0,-1),把A′向右平移1个单位得到点B'(1,-1),连接BB′,与x轴交于点N,过A′作A′M∥B′N交x轴于M,如图,
∴MA′=MA,
∵A′M∥B′N,
∴四边形AMNB为平行四边形,
∴MA′=NB′,
∴MA=NB′,
∴AM+BN=BB′,此时AM+BN最小,
而MN与AB的长一定,
∴此时四边形AMNB的周长最短.
设直线BB′的解析式为y=kx+b,
把B(5,3)、B'(1,-1)分别代入得
,
解得k=1,b=-2,
∴直线BB′的解析式为y=x-2,
令y=0,则x-2=0,
解得x=2,
∴N点坐标为(2,0),
∵MN=1,
∴M(1,0).
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∴MA′=MA,
∵A′M∥B′N,
∴四边形AMNB为平行四边形,
∴MA′=NB′,
∴MA=NB′,
∴AM+BN=BB′,此时AM+BN最小,
而MN与AB的长一定,
∴此时四边形AMNB的周长最短.
设直线BB′的解析式为y=kx+b,
把B(5,3)、B'(1,-1)分别代入得
|
解得k=1,b=-2,
∴直线BB′的解析式为y=x-2,
令y=0,则x-2=0,
解得x=2,
∴N点坐标为(2,0),
∵MN=1,
∴M(1,0).
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