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已知实数x,y,z满足xyz=32,x+y+z=4,则|x|+|y|+|z|的最小值为.
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已知实数x,y,z满足xyz=32,x+y+z=4,则|x|+|y|+|z|的最小值为______.
▼优质解答
答案和解析
不妨设x≥y≥z由于xyz=32>0所以x,y,z要么满足全为正,要么一正二负
若是全为正数,由均值不等式得:4=x+y+z≥3
,所以xyz≤
<32,矛盾.
所以必须一正二负.即x>0>y≥z
从而|x|+|y|+|z|=x-y-z=2x-(x+y+z)=2x-4,所以只要x最小
将z=4-x-y代入xyz=32得:xy2+(x2-4x)y-32=0
由△≥0,得:(x2-4x)2≥128x
即x(x-8)(x2+16)≥0因为x>0,x2+16>0,所以一定有x-8≥0,x≥8
所以|x|+|y|+|z|的最小值为2×8-4=12
故答案为12
若是全为正数,由均值不等式得:4=x+y+z≥3
3 | xyz |
64 |
27 |
所以必须一正二负.即x>0>y≥z
从而|x|+|y|+|z|=x-y-z=2x-(x+y+z)=2x-4,所以只要x最小
将z=4-x-y代入xyz=32得:xy2+(x2-4x)y-32=0
由△≥0,得:(x2-4x)2≥128x
即x(x-8)(x2+16)≥0因为x>0,x2+16>0,所以一定有x-8≥0,x≥8
所以|x|+|y|+|z|的最小值为2×8-4=12
故答案为12
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