计算：（1）；（2）（3）1+2i+3i2+…+1000i999

Question

计算：（1） ；
（2）
（3）1+2i+3i ² +…+1000i ⁹⁹⁹

Answer 1

分析：
利用ω3=3=1，ω+=-1，ω=1，ω2=，2=ω，|ω|=||=1，1+ω+ω2=0，1++2=0这些性质中（ω=-+i）；（1±i）2=±2i，，解答（1）（2）．利用i的幂的周期性解答（3）．

（1）原式=+（2-i）-=i+2-i-（-i）=2+i（2）原式===（3）解法1：原式=（1+2i-3-4i）+（5+6i-7-8i）++（997+998i-999-1000i）=250（-2-2i）=-500-500i=-1000=-1000解法2：设S=1+2i+3i2++1000i999，则iS=i+2i2+3i3++999i999+1000i1000，∴（1-i）S=1+i+i2++i999-1000i1000=-1000=-1000∴S==-500-500i．
点评：
（1）计算时要注意提取公因式，要注意利用i的幂的周期性．（2）重视利用ω3=3=1，ω+=-1，ω=1，ω2=，2=ω，|ω|=||=1，1+ω+ω2=0，1++2=0这些性质（ω=-+i）；要记住常用的数据：（1±i）2=±2i，，．（3）充分利用i的幂的周期性进行组合，注意利用等比数列求和的方法．