已知a，b，c∈（0，1）．求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a不能同时大于14．

Question

已知a，b，c∈（0，1）．求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a不能同时大于(1)/(4)．

Answer 1

证明：假设三式同时大于(1)/(4)，即(1−a)b＞(1)/(4)，(1−b)c＞(1)/(4)，(1−c)a＞(1)/(4)…2分
三式同向相乘，得(1−a)a(1−b)b(1−c)c＞(1)/(64)（*）…5分
又(1−a)a≤((1−a+a)/(2))2＝(1)/(4)，…7分
同理(1−b)b≤(1)/(4)，(1−c)c≤(1)/(4)…9分
所以(1−a)a(1−b)b(1−c)c≤(1)/(64)，…11分
与*式矛盾，即假设不成立，故结论正确…12分