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已知函数f0(x)=sinxx(x>0),设fn(x)为fn-1(x)的导数,n∈N*.(
题目详情
已知函数f0(x)=
sinx
x
(x>0),设fn(x)为fn-1(x)的导数,n∈N*.
(1)求2f1(
π
2
)+
π
2
f2(
π
2
)的值;
(2)证明:对任意n∈N*,等式|nfn-1(
π
4
)+
π
4
fn(
π
4
)|=
2
2
都成立.
sinx
x
(x>0),设fn(x)为fn-1(x)的导数,n∈N*.
(1)求2f1(
π
2
)+
π
2
f2(
π
2
)的值;
(2)证明:对任意n∈N*,等式|nfn-1(
π
4
)+
π
4
fn(
π
4
)|=
2
2
都成立.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵f0(x)=
sinx
x
,∴xf0(x)=sinx,
则两边求导,[xf0(x)]′=(sinx)′,
∵fn(x)为fn-1(x)的导数,n∈N*,
∴f0(x)+xf1(x)=cosx,
两边再同时求导得,2f1(x)+xf2(x)=-sinx,
将x=
π
2
代入上式得,2f1(
π
2
)+
π
2
f2(
π
2
)=-1,
(2)由(1)得,f0(x)+xf1(x)=cosx=sin(x+
π
2
),
恒成立两边再同时求导得,2f1(x)+xf2(x)=-sinx=sin(x+π),
再对上式两边同时求导得,3f2(x)+xf3(x)=-cosx=sin(x+
3π
2
),
同理可得,两边再同时求导得,4f3(x)+xf4(x)=sinx=sin(x+2π),
猜想得,nfn-1(x)+xfn(x)=sin(x+
nπ
2
)对任意n∈N*恒成立,
下面用数学归纳法进行证明等式成立:
①当n=1时,f0(x)+xf1(x)=cosx=sin(x+
π
2
)成立,则上式成立;
②假设n=k(k>1且k∈N*)时等式成立,即kfk−1(x)+xfk(x)=sin(x+
kπ
2
),
∵[kfk-1(x)+xfk(x)]′=kfk-1′(x)+fk(x)+xfk′(x)
=(k+1)fk(x)+xfk+1(x)
又[sin(x+
kπ
2
)]′=cos(x+
kπ
2
)•(x+
kπ
2
)′
=cos(x+
kπ
2
)=sin(
π
2
+x+
kπ
2
)=sin[x+
(k+1)π
2
],
∴那么n=k(k>1且k∈N*)时.等式(k+1)fk(x)+xfk+1(x)=sin[x+
(k+1)π
2
]也成立,
由①②得,nfn-1(x)+xfn(x)=sin(x+
nπ
2
)对任意n∈N*恒成立,
令x=
π
4
代入上式得,nfn-1(
π
4
)+
π
4
fn(
π
4
)=sin(
π
4
+
nπ
2
)=±cos
π
4
=±
2
2
,
所以,对任意n∈N*,等式|nfn-1(
π
4
)+
π
4
fn(
π
4
)|=
2
2
都成立.
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