已知函数f0（x）=sinxx（x＞0），设fn（x）为fn-1（x）的导数，n∈N*．（

Question

已知函数f0（x）=
sinx
x
（x＞0），设fn（x）为fn-1（x）的导数，n∈N*．
（1）求2f1（
π
2
）+
π
2
f2（
π
2
）的值；
（2）证明：对任意n∈N*，等式|nfn-1（
π
4
）+
π
4
fn（
π
4
）|=
2
2
都成立．

Answer 1

（1）∵f0（x）= sinx x ，∴xf0（x）=sinx， 则两边求导，[xf0（x）]′=（sinx）′， ∵fn（x）为fn-1（x）的导数，n∈N*， ∴f0（x）+xf1（x）=cosx， 两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=-sinx， 将x= π 2 代入上式得，2f1（ π 2 ）+ π 2 f2（ π 2 ）=-1， （2）由（1）得，f0（x）+xf1（x）=cosx=sin（x+ π 2 ）， 恒成立两边再同时求导得，2f1（x）+xf2（x）=-sinx=sin（x+π）， 再对上式两边同时求导得，3f2（x）+xf3（x）=-cosx=sin（x+ 3π 2 ）， 同理可得，两边再同时求导得，4f3（x）+xf4（x）=sinx=sin（x+2π）， 猜想得，nfn-1（x）+xfn（x）=sin（x+ nπ 2 ）对任意n∈N*恒成立， 下面用数学归纳法进行证明等式成立： ①当n=1时，f0(x)+xf1(x)＝cosx＝sin(x+ π 2 )成立，则上式成立； ②假设n=k（k＞1且k∈N*）时等式成立，即kfk−1(x)+xfk(x)＝sin(x+ kπ 2 )， ∵[kfk-1（x）+xfk（x）]′=kfk-1′（x）+fk（x）+xfk′（x） =（k+1）fk（x）+xfk+1（x） 又[sin(x+ kπ 2 )]′＝cos(x+ kπ 2 )•(x+ kπ 2 )′ =cos(x+ kπ 2 )=sin( π 2 +x+ kπ 2 )=sin[x+ (k+1)π 2 ]， ∴那么n=k（k＞1且k∈N*）时．等式(k+1)fk(x)+xfk+1(x)＝sin[x+ (k+1)π 2 ]也成立， 由①②得，nfn-1（x）+xfn（x）=sin（x+ nπ 2 ）对任意n∈N*恒成立， 令x= π 4 代入上式得，nfn-1（ π 4 ）+ π 4 fn（ π 4 ）=sin（ π 4 + nπ 2 ）=±cos π 4 =± 2 2 ， 所以，对任意n∈N*，等式|nfn-1（ π 4 ）+ π 4 fn（ π 4 ）|= 2 2 都成立．