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若x+y+z>0,xy+yz+zx>0,xyz>0,试证:x>0,y>0,z>0.
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若x+y+z>0,xy+yz+zx>0,xyz>0,试证:x>0,y>0,z>0.
▼优质解答
答案和解析
假设x,y,z不都为正,不妨设x<0,
由于xyz>0,所以y,z有一个为正,一个为负,不妨设y<0,z>0,则z>-(x+y),xy+yz+zx=xy+z(x+y),由于|z|>|x|,|x+y|>|y|,xy>0,z(x+y)<0,
所以xy+z(x+y)<0,与已知矛盾,所以假设不成立,所以x>0,y>0,z>0.
由于xyz>0,所以y,z有一个为正,一个为负,不妨设y<0,z>0,则z>-(x+y),xy+yz+zx=xy+z(x+y),由于|z|>|x|,|x+y|>|y|,xy>0,z(x+y)<0,
所以xy+z(x+y)<0,与已知矛盾,所以假设不成立,所以x>0,y>0,z>0.
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