是否存在实数k，使得x3x+y+yx+3y≤k＜2z+11−3z当xy＞0，0＜z＜13时恒成立？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Question

是否存在实数k，使得(x)/(3x+y)+(y)/(x+3y)≤k＜(2)/(z)+(1)/(1−3z)当xy＞0，0＜z＜(1)/(3)时恒成立？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

∵0＜z＜(1)/(3)，∴1-3z＞0．
∴(2)/(z)+(1)/(1−3z)=((6)/(3z)+(1)/(1−3z))[3z+(1−3z)]
=7+(6(1−3z))/(3z)+(3z)/(1−3z)≥7+2√(6)，当且仅当z=(√(6))/(3(√(6)+1))时取等号．
令(y)/(x)＝t，∵xy＞0，∴t＞0．
∴(x)/(3x+y)+(y)/(x+3y)=(1)/(3+(y)/(x))+(1)/(3+(x)/(y))=(1)/(3+t)+(1)/((1)/(t)+3)
=(1)/(3)+(1)/(3)×(8)/(3(t+(1)/(t))+10)
≤(1)/(3)+(1)/(3)×(8)/(3×2+10)=

作业帮用户 2016-12-07 举报

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问题解析

通过适当变形利用基本不等式即可得出．

名师点评

本题考点：

基本不等式．

考点点评：

本题考查了通过变形利用基本不等式的性质，属于难题．

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