证明不等式设x,y,z＞0,x+y+z=3,依次证明下列不等式：（1）√（xy）*（2—√（xy））＜＝1；（2）（x+y）|（xy*（4—xy））＞＝4|（4+x+y）；（3）（x+y）|（xy*（4—xy））+（z+y）|（zy*（4—zy））+（

Question

证明不等式
设x,y,z＞0,x+y+z=3,依次证明下列不等式：
（1）√（xy）*（2—√（xy））＜＝1；
（2）（x+y）|（xy*（4—xy））＞＝4|（4+x+y）；
（3）（x+y）|（xy*（4—xy））+（z+y）|（zy*（4—zy））+（x+z）|（xz*（4—xz））＞＝2.

Answer 1

(1)证明：由均值不等式：√(xy)(2-√(xy))=4/(4+x+y)成立.
证毕.
(3)(x+y)/[xy(4-xy)]+(z+y)/[zy(4-zy)]+(x+z)/(zx(4-zx))>=2
由上题结论(x+y)/[xy(4-xy)]>=4/(4+x+y)
由于上题证明并没有指定x,y的取值,只要x,y为正数均成立.
所以我们同理还有：(z+y)/[zy(4-zy)]>=4/(4+z+y)
(x+z)/[zx(4-zx)]>=4/(4+x+z)
于是只要证明：
4/(4+x+y)+4/(4+y+z)+4/(4+z+x)>=2即可.
由题中条件x+y+z=3可得：
4+x+y=4+3-z=7-z
同理4+y+z=7-x
4+z+x=7-y
所以上述不等式又等价于：
4/(7-x)+4/(7-y)+4/(7-z)>=2
由柯西不等式：(7-x+7-y+7-z)[4/(7-x)+4/(7-y)+4/(7-z)]>=(2+2+2)^2=36
而此时7-x+7-y+7-z=21-(x+y+z)=21-3=18
所以原式即18[4/(7-x)+4/(7-y)+4/(7-z)]>=36
即4/(7-x)+4/(7-y)+4/(7-z)>=2成立.
于是原不等式成立.
证毕..