设二维随机变量（X，Y）的密度函数为f（x，y）=2e−(x+2y)x＞0，y＞00其它，求随机变量Z=X+2Y的分布函数．

Question

设二维随机变量（X，Y）的密度函数为f（x，y）=

2e−(x+2y)  x＞0，y＞0

0        其它

，求随机变量Z=X+2Y的分布函数．

Answer 1

P（X+2Y≤z）⇒P（Y≤(z)/(2)−(x)/(2)）
显然：当z≤0时，F_Z（z）=0
当z＞0时：
F_Z（z）=

∫

+∞ −∞

∫−∞(z)/(2)−(x)/(2)f(x，y)dydx=

∫

z 0

∫	(z)/(2)−(x)/(2) 0

f(x，y)dydx
=−

∫

z 0

[e(x+2y)

|	(z)/(2)−(x)/(2) 0

]dx=−

∫

z 0

(e−z−e−x)dx
=−(e−x+e−zx)

|

z 0

=1-e^-z-ze^-z
综上所述：
FZ(z)＝

1−e−z−ze−z，z＞0

0，   z≤0