已知对任意的x∈R，3a（sinx+cosx）+2bsin2x≤3（a，b∈R）恒成立，则当a+b取得最小值时，a的值是．

Question

已知对任意的x∈R，3a（sinx+cosx）+2bsin2x≤3（a，b∈R）恒成立，则当a+b取得最小值时，a的值是___．

Answer 1

由题意可令sinx+cosx=-(1)/(2)，
两边平方可得1+2sinxcosx=(1)/(4)，
即有sin2x=-(3)/(4)，
代入3a（sinx+cosx）+2bsin2x≤3，可得-(3)/(2)a-(3)/(2)b≤3，
可得a+b≥-2，
当a+b=-2时，令t=sinx+cosx=√(2)sin（x+(π)/(4)）∈[-√(2)，√(2)]，
即有sin2x=t²-1，代入3a（sinx+cosx）+2bsin2x≤3，
可得-2bt²+3（2+b）t+3+2b≥0，对t∈[-√(2)，√(2)]恒成立，
则△=9（2+b）²+8b（3+2b）≤0，
即为（5b+6）²≤0，但（5b+6）²≥0，则5b+6=0，可得b=-(6)/(5)，a=-(4)/(5)．
而当b=-(6)/(5)，a=-(4)/(5)时，3a（sinx+cosx）+2bsin2x=-(12)/(5)t-(12)/(5)（t²-1）
=-(12)/(5)（t+(1)/(2)）²+3≤3．
所以当a+b取得最小值-2，此时a=-(4)/(5)．
故答案为：-(4)/(5)．