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如图,在直角坐标系中有一直角三角形AOB,O为坐标原点,OA=1,tan∠BAO=3,将此三角形绕原点O逆时针旋转90°,得到△DOC,抛物线经过点A、B、C.(1)求抛物线的解析式;(2)若点P是
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如图,在直角坐标系中有一直角三角形AOB,O为坐标原点,OA=1,tan∠BAO=3,将此三角形绕原点O逆时针旋转90°,得到△DOC,抛物线 经过点A、B、C. (1)求抛物线的解析式; (2)若点P是第二象限内抛物线上的动点,其坐标为t, ①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E,连接PE,交CD于F,求出当△CEF与△COD相似时,点P的坐标; ②是否存在一点P,使△PCD得面积最大?若存在,求出△PCD的面积的最大值;若不存在,请说明理由. |
▼优质解答
答案和解析
(1) (2)①P点的坐标为:(﹣1,4)或(﹣2,3)。 ②当t=﹣ 时,S △ PCD 的最大值为 。 |
分析:(1)先求出A、B、C的坐标,再运用待定系数法就可以直接求出二次函数的解析式。 (2)①由(1)的解析式可以求出抛物线的对称轴,分类讨论当∠CEF=90°时,当∠CFE=90°时,根据相似三角形的性质就可以求出P点的坐标。 ②先运用待定系数法求出直线CD的解析式,设PM与CD的交点为N,根据CD的解析式表示出点N的坐标,再根据S △ PCD =S △ PCN +S △ PDN 就可以表示出三角形PCD的面积,运用顶点式就可以求出结论。 (1)在Rt△AOB中,OA=1, ,∴OB=3OA=3.。 ∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的, ∴△DOC≌△AOB。∴OC=OB=3,OD=OA=1。 ∴A、B、C的坐标分别为(1,0),(0,3)(﹣3,0). 代入解析式得 ,解得: 。 ∴抛物线的解析式为 。 (2)①∵ ,∴对称轴l为x=﹣1。 ∴E点的坐标为(﹣1,0)。 当∠CEF=90°时,△CEF∽△COD.此时点P在对称轴上,即点P为抛物线的顶点,P(﹣1,4)。 当∠CFE=90°时,△CFE∽△COD,过点P作PM⊥x轴于点M,则△EFC∽△EMP。 ∴ 。∴MP=3EM.。 ∵P的横坐标为t,∴P(t, )。 ∵P在二象限,∴PM= ,EM= , ∴ ,解得:t 1 =﹣2,t 2 =﹣3(与C重合,舍去)。 ∴t=﹣2时, 。 ∴P(﹣2,3)。 综上所述,当△CEF与△COD相似时,P点的坐标为:(﹣1,4)或(﹣2,3)。 ②设直线CD的解析式为y=kx+b,由题意,得 ,解得: 。 ∴直线CD的解析式为:y= x+1。 设PM与CD的交点为N,则点N的坐标为(t, t+1),∴NM= t+1。 ∴ 。 ∵S △ PCD =S △ PCN +S △ PDN , ∴ 。 ∴当t=﹣ 时,S △ PCD 的最大值为 。 |
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