一道高数证明题f(x)在R上有定义,且满足f(2x)=f(x),若f(x)在点x=0连续,证明f(x)在R上为常数.

Question

一道高数证明题
f(x)在R上有定义,且满足f(2x)=f(x),若f(x)在点x=0连续,证明f(x)在R上为常数.

Answer 1

函数连续的定义：设函数 f(x)在点x0 的某个邻域内有定义,若自变量x在点x0的增量Δx→0时,对应的函数增量△y=f(x)-f(x0) 也趋于零,即△y→0
称函数f(x) 在点x0 连续,点x0称为函数y=f (x) 的连续点.
因为f(x)在点x=0连续,所以必有确定值.设为C,即f(0)=C
因为：f(2x)=f(x)
所以：f(x)=f(x/2)=f(x/4)=...f(x/2^n) n→∞
令△x=x/2^n,则：f(x/2^n)=f(0+△x) (n→∞时△x趋于0)
根据：f(x)在点x=0连续的定义,△y=f(0+△x)-f(0)趋于0.
所以：f(0+△x)=C,
即：f(x)=f(x/2)=f(x/4)=...f(x/2^n)=C
对任意x,皆有f(x)=C
所以f(x)为常数.