（2009•湖北）如图，过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线l作垂线，垂足分别为M1、N1（1）求证：FM1⊥FN1；（2）记△FMM1、△FM1N1，△FNN1的面积分别为S1

Question

（2009•湖北）如图，过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线l作垂线，垂足分别为M₁、N₁
（1）求证：FM₁⊥FN₁；
（2）记△FMM₁、△FM₁N₁，△FNN₁的面积分别为S₁、S₂、S₃，试判断S₂²=4S₁S₃是否成立，并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：由抛物线的定义得
|MF|=|MM₁|，|NF|=|NN₁|，
∴∠MFM₁=∠MM₁F，∠NFN₁=∠NN₁F
如图，设准线l与x的交点为F₁
∴MM₁∥NN₁∥FF₁
∴∠F₁FM₁=∠MM₁F，∠F₁FN₁=∠NN₁F
而∠F₁FM₁+∠MFM₁+∠F₁FN₁+∠N₁FN=180°
即2∠F₁FM₁+2∠F₁FN₁=180°
∴∠F₁FM₁+∠F₁FN₁=90°
故FM₁⊥FN₁．
（2）S₂²=4S₁S₃成立，证明如下：
证：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
则由抛物线的定义得
|MM₁|=|MF|=x1+(p)/(2)，|NN₁|=|NF|=x2+(p)/(2)，
于是
S₁=(1)/(2)|MM₁||F₁M₁|=(1)/(2)(x1+(p)/(2)) |y1|，
S₂=(1)/(2)|M₁N₂||FF₁|=(1)/(2)p|y1−y2|，
S₃=(1)/(2)|NN₁||F₁N₁|=(1)/(2)(x2+(p)/(2)) |y2|，
∵S₂²=4S₁S₃⇔((1)/(2)p|y1−y2|2＝4×(1)/(2)(x1+(p)/(2))|y1|•(1)/(2)(x2+(p)/(2)) |y2|
⇔(1)/(4)p2[(y1+y2)2−4y1y2]=[x1x2+(p)/(2)(x1+x2)+(p2)/(4)]|y1y2|，
将

x1＝my1+(p)/(2)

x2＝my2+(p)/(2)

与

y1+y2＝2mp

y1y2＝−p2

代入上式化简可得
p²（m²p²+p²）=p²（m²p²+p²），此式恒成立．
故S₂²=4S₁S₃成立．