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已知,点O为矩形BHCM的对称中心,将一直角的顶点放在点O处,绕点O旋转,直角两边分别交直线BH、HC于E、D两点.(1)如图1,当BH=3CH时,探究OE与OD的数量关系,并证明;(2)如图2,当BH=nCH

题目详情
已知,点O为矩形BHCM的对称中心,将一直角的顶点放在点O处,绕点O旋转,直角两边分别交直线BH、HC于E、D两点.
(1)如图1,当BH=
3
CH时,探究OE与OD的数量关系,并证明;
(2)如图2,当BH=nCH时,直接写出OE:OD=______.
▼优质解答
答案和解析
(1)OE与OD的数量关系为OD=
3
OE.理由如下:
作ON⊥CH于N,OF⊥BH于H,如图1,
∵点O为矩形BHCM的对称中心,
∴OF=
1
2
CH,ON=
1
2
BH,
而BH=
3
CH,
∴ON=
3
OF,
∵∠DOE=90°,即∠DON+∠NOE=90°,
而∠NOF=90°,即∠NOE+∠EOF=90°,
∴∠DON=∠EOF,
∴Rt△EOF∽Rt△DON,
∴OE:OD=OF:ON=1:
3

∴OD=
3
OE;

(2)作ON⊥CH于N,OF⊥BH于H,如图2,
∵BH=nCH,
∴ON=nOF,
同理可证Rt△EOF∽Rt△DON,
∴OE:OD=OF:ON=1:n.
故答案为1:n.
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