如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=45°，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，BE与AD相交于F．（1）求证：BF=AC；（2）若CD=3，求AF的长．

Question

如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=45°，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，BE与AD相交于F．

（1）求证：BF=AC；
（2）若CD=3，求AF的长．

Answer 1

（1）AD⊥BD，∠BAD=45°，
∴AD=BD，
∵∠BFD=∠AFE，∠AFE+∠CAD=90°，∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠BFD=∠ACD，
在△BDF和△ACD中，

∠BFD=∠ACD

∠BDF=∠ADC

BD=AD

，
∴△BDF≌△ACD（AAS），
∴BF=AC；
  
（2）连接CF，
∵△BDE≌△ADC，
∴DF=DC，
∴△DFC是等腰直角三角形．
∵CD=3，CF=√(2)CD=3√(2)，
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AE=EC，BE是AC的垂直平分线．
∴AF=CF，
∴AF=3√(2)．