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(2013•朝阳区一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAC⊥平面ABCD,且PA⊥AC,PA=AD=2.四边形ABCD满足BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1.E为侧棱PB的中点,F为侧棱PC上的任意一点.(Ⅰ)若F为PC的中点,求
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/9e3df8dcd100baa13e97bc0a4410b912c9fc2ecc.jpg)
(Ⅰ)若F为PC的中点,求证:面EFP⊥平面PAB;
(Ⅱ)求证:平面AFD⊥平面PAB;
(Ⅲ)是否存在点F,使得直线AF与平面PCD垂直?若存在,写出证明过程并求出线段PF的长;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)∵E、F分别为侧棱PB、PC的中点,∴EF∥BC.
∵BC∥AD,∴EF∥AD.
∵面PAC⊥平面ABCD,且PA⊥AC,面PAC∩平面ABCD=AC,
∴PA⊥平面ABCD,结合AD⊂平面ABCD,得PA⊥AD.
又∵AB⊥AD,PA∩AB=A,∴AD⊥平面PAB,可得EF⊥平面PAB.
∴结合EF⊂平面EFP,得平面EFP⊥平面PAB. …(4分)
(Ⅱ)∵平面ABCD⊥平面PAC,
平面ABCD∩平面PAC=AC,且PA⊥AC,PA⊂平面PAC.
∴PA⊥平面ABCD,结合AD⊂平面ABCD,得PA⊥AD.
又∵AB⊥AD,PA∩AB=A,∴AD⊥平面PAB,
∵AD⊂平面AFD,
∴平面AFD⊥平面PAB.…(8分)
(Ⅲ)存在点F,使得直线AF与平面PCD垂直.
平面PCA中,过点A作AF⊥PC,垂足为F
∵由已知AB⊥AD,BC∥AD,AB=BC=1,AD=2.
∴根据平面几何知识,可得CD⊥AC.
又∵由(Ⅱ)PA⊥平面ABCD,得PA⊥CD,且PA∩AC=A,
∴CD⊥平面PAC,结合AF⊂平面PAC,得CD⊥AF.
又∵CD∩PC=C,∴AF⊥平面PCD.
在△PAC中,PA=2,AC=
,∠PAC=90°,
∴PC=
=
,PF=
=
.
∴PC上存在点F,使得直线AF与平面PCD垂直,此时线段PF的长为
.…(14分)
∵BC∥AD,∴EF∥AD.
∵面PAC⊥平面ABCD,且PA⊥AC,面PAC∩平面ABCD=AC,
∴PA⊥平面ABCD,结合AD⊂平面ABCD,得PA⊥AD.
又∵AB⊥AD,PA∩AB=A,∴AD⊥平面PAB,可得EF⊥平面PAB.
∴结合EF⊂平面EFP,得平面EFP⊥平面PAB. …(4分)
(Ⅱ)∵平面ABCD⊥平面PAC,
平面ABCD∩平面PAC=AC,且PA⊥AC,PA⊂平面PAC.
∴PA⊥平面ABCD,结合AD⊂平面ABCD,得PA⊥AD.
又∵AB⊥AD,PA∩AB=A,∴AD⊥平面PAB,
∵AD⊂平面AFD,
∴平面AFD⊥平面PAB.…(8分)
(Ⅲ)存在点F,使得直线AF与平面PCD垂直.
平面PCA中,过点A作AF⊥PC,垂足为F
∵由已知AB⊥AD,BC∥AD,AB=BC=1,AD=2.
∴根据平面几何知识,可得CD⊥AC.
又∵由(Ⅱ)PA⊥平面ABCD,得PA⊥CD,且PA∩AC=A,
∴CD⊥平面PAC,结合AF⊂平面PAC,得CD⊥AF.
又∵CD∩PC=C,∴AF⊥平面PCD.
在△PAC中,PA=2,AC=
2 |
∴PC=
PA2+AC2 |
6 |
PA•AC |
PC |
2
| ||
3 |
∴PC上存在点F,使得直线AF与平面PCD垂直,此时线段PF的长为
2
| ||
3 |
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