如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，作∠ADB的角平分线DE交AB于点E，（1）求证：DE∥BC；（2）若AE=3，AD=5，点P为BC上的一动点，当BP为何值时，△DEP为等腰三角形．请直接写出所有BP

Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，作∠ADB的角平分线DE交AB于点E，
（1）求证：DE∥BC；
（2）若AE=3，AD=5，点P为BC上的一动点，当BP为何值时，△DEP为等腰三角形．请直接写出所有BP的值

√(7)，2，4-√(7)，4+√(7)

√(7)，2，4-√(7)，4+√(7)

．

Answer 1

（1）证明：∵∠ABC=90°，点D是AC的中点，
∴BD=AD=(1)/(2)AC，
∵DE是∠ADB的角平分线，
∴DE⊥AB，
又∵∠ABC=90°，
∴DE∥BC；

（2）∵AE=3，AD=5，DE⊥AB，
∴DE=√(AD2−AE2)=√(52−32)=4，
∵DE⊥AB，AD=BD，
∴BE=AE=3，
①DE=EP时，BP=√(42−32)=√(7)，
②DP=EP时，BP=(1)/(2)DE=(1)/(2)×4=2，
③DE=DP时，过点D作DF⊥BC于F，
则DF=BE=3，
由勾股定理得，FP=√(42−32)=√(7)，
点P在F下边时，BP=4-

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问题解析

（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BD=AD=(1)/(2)AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得DE⊥AB，再根据垂直于同一直线的两直线平行证明；
（2）利用勾股定理列式求出DE的长，根据等腰三角形三线合一的性质求出BE=AE，然后分DE=EP、DP=EP、DE=DP三种情况讨论求解．

名师点评

本题考点：

直角三角形斜边上的中线；平行线的判定；等腰三角形的判定．

考点点评：

本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定，难点在于（2）要分情况讨论．

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