如图，△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC．点P在△ABC内，且PA=3，PB=5，PC=2，求△ABC的面积．

Question

如图，△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC．点P在△ABC内，且PA=√(3)，PB=5，PC=2，求△ABC的面积．

Answer 1

如图，作△ABQ，使得∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP，则△ABQ∽△ACP．
∵AB=2AC，
∴△ABQ与△ACP相似比为2．
∴AQ=2AP=2√(3)，BQ=2CP=4，
∠QAP=∠QAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP=∠BAC=60°．
由AQ：AP=2：1知，∠APQ=90°，于是PQ=√(3)AP=3，
∴BP²=25=BQ²+PQ²，从而∠BQP=90°，
过A点作AM∥PQ，延长BQ交AM于点M，
∴AM=PQ，MQ=AP，
∴AB²=AM²+（QM+BQ）²=PQ²+（AP+BQ）²=28+8√(3)，
故S_△ABC=(1)/(2)AB•ACsin60°=(√(3))/(8)AB2=(6+7√(3))/(2)=3+(7√(3))/(2)．
故答案为：3+(7√(3))/(2)．