如图，边长为1的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点A1．（1）求证：A1D⊥EF；（2）求三棱锥A1-DEF的体积.

Question

如图，边长为1 的正方形ABCD 中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED 、△DCF 分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点A ₁ ．

（1）求证：A ₁ D⊥EF；
（2）求三棱锥A ₁ -DEF的体积.

Answer 1

（1 ）证明：由正方形ABCD 知，∠DCF= ∠DAE=90 °,
则A ₁ D ⊥A ₁ F ，A ₁ D ⊥A ₁ E ，且A ₁ E ∩A ₁ F ＝A ₁ ，
所以A ₁ D⊥平面A ₁ EF
.又EF 平面A ₁ EF，
所以A ₁ D⊥EF．
（2）由A ₁ F=A ₁ E= ，EF= 及勾股定理，得A ₁ E⊥A ₁ F,
所以 ,
所以 .