在正方形ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱BC,CC1,C1D1,AA1的中点,O为AC与BD的交点求证：（1）A1O⊥平面BDF;(2)平面BDF⊥平面AA1C

Question

在正方形ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱BC,CC1,C1D1,AA1的中点,O为AC与BD的交点
求证：（1）A1O⊥平面BDF;(2)平面BDF⊥平面AA1C

Answer 1

证明：
1）
设正方体边长为2a,则C1F=CF=a

根据勾股定理求得：
A1C1=2√2a,A1F=3a
AO=CO=√2a,OF=√3a
A1O=√6a
所以：(A1O)^2+(OF)^2=(A1F)^2
所以：△A1OF是直角三角形
所以：A1O⊥OF
因为：正方形对角线相互垂直,BD⊥AC
因为：A1A⊥底面ABCD,A1A⊥BD
所以：BD⊥平面AA1O
所以：BD⊥A1O
所以：A1O⊥平面BDF
2）
同1）证明过程知道,BD⊥平面AA1O即BD⊥平面AA1C
因为：BD在平面BDF上
所以：平面BDF⊥平面AA1C