如图，已知A（0，4），E（8，0），点P（a，0）是线段OE上的动点，点B为AP的中点，以BP为边向右边作正方形PBCD，过点B作BM⊥x轴于点M，过点D作DF⊥x轴于点F，连接DE．（1）判断DF，BM，MF之间的

Question

如图，已知A（0，4），E（8，0），点P（a，0）是线段OE上的动点，点B为AP的中点，以BP为边向右边作正方形PBCD，过点B作BM⊥x轴于点M，过点D作DF⊥x轴于点F，连接DE．

（1）判断DF，BM，MF之间的关系，并说明理由；
（2）求点D的坐标（用含a的代数式表示）；
（3）当点P在线段OE（点O，点E除外）上运动时，设△PDE的面积为S，写出S与a的函数关系式，当点P运动到何处时，△PDE的面积最大，最大是多少？

Answer 1

（1）结论：MF=DF+BM．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴PB=PD，∠BPD=90°，
∵BM⊥OE，DF⊥OE，
∴∠BMP=∠DFP=90°，
∵∠BPM+∠DPF=90°，∠MBP+∠BPM=90°，
∴∠MBP=∠DPF，
∴△PBM≌△DPF，
∴PM=DF，BM=PF，
∴MF=MP+PF=DF+BM．

（2）∵A（0，4），P（a，0），
∴OA=4，OP=a，
∵B为AP的中点，
∴B（(a)/(2)，2），BM=PF=2，OM=PM=DF=(1)/(2)a，
∴D（a+2，(a)/(2)）．

（3）由题意S=(1)/(2)•PE•DF=(1)/(2)（8-a）•(1)/(2)a=(1)/(4)a（8-a）=-(1)/(4)（a-4）²+4，
∵-(1)/(4)<0，
∴a=4时，S有最大值4．
∴当P运动到P（4，0）时，△PDE的面积最大，最大面积为4．