设数列{an}的前n项和为Sn．已知a1=1，Sn=13(an+1−1)，n∈N*．（1）写出a2，a3的值，并求数列{an}的通项公式；（2）记bn＝1log4an+1log4an+2，数列{bn}的前n项和为Tn，试比较Tn与1的大小．

Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n．已知a₁=1，S_n=(1)/(3)(an+1−1)，n∈N^*．
（1）写出a₂，a₃的值，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）记bn＝(1)/(log4an+1log4an+2)，数列{b_n}的前n项和为T_n，试比较T_n与1的大小．

Answer 1

（1）由已知易得：a₂=4，a₃=16   …（2分）
当n≥2时，由a_n+1=3S_n+1可得a_n=3S_n-1+1，两式相减得：a_n+1=4a_n，
又由于a₁=1，a₂=4，
所以数列{a_n}是以1为首项，4为公比的等比数列，
所以其通项公式为：a_n=4^n-1（n∈N^*）…（6分）
（2）由（1）可知bn＝(1)/(log4an+1log4an+2)=(1)/((n+1)n)=(1)/(n)−(1)/(n+1)…（8分）
则T_n=（1−(1)/(2)）+（(1)/(2)−(1)/(3)）+…+（(1)/(n)−(1)/(n+1)）=1-(1)/(n+1)＜1…（12分）