已知（x+1）n=a0+a1（x-1）+a2（x-1）+a3（x-1）3+…+an（x-1）n，（其中n∈N*）（1）求a0及Sn＝ni＝1ai；（2）试比较Sn与（n-2）2n+2n2的大小，并说明理由．

Question

已知（x+1）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ，（其中n∈N^*）
（1）求a₀及Sn＝

n

i＝1

ai；
（2）试比较S_n与（n-2）2ⁿ+2n²的大小，并说明理由．

Answer 1

（1）令x=1，则a₀=2ⁿ，令x=2，
则

n

i＝0

ai＝3n，∴S_n=3ⁿ-2ⁿ；----------------------（3分）
（2）要比较S_n与（n-2）2ⁿ+2n²的大小，即比较：3ⁿ与（n-1）2ⁿ+2n²的大小，
当n=1时，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²；当n=2，3时，3ⁿ＜（n-1）2ⁿ+2n²；
当n=4，5时，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²；-----------------------------------（5分）
猜想：当n≥4时n≥4时，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²，下面用数学归纳法证明：
由上述过程可知，n=4n=4时结论成立，
假设当n=k（k≥4）n=k，（k≥4）时结论成立，即3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²，
两边同乘以3 得：3^k+1＞3[（k-1）2^k+2k²]=k2^k+1+2（k+1）²+[（k-3）2^k+4k²-4k-2]
而（k-3）2^k+4k²-4k-2=（k-3）2^k+4（k²-k-2）+6=（k-2）2^k+4（k-2）（k+1）+6＞0∴3^k+1＞[（k+1）-1]2^k+1+2（k+1）²
即n=k+1时结论也成立，
∴当n≥4时，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²成立．
综上得，当n=1时，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²；
当n=2，3时，3ⁿ＜（n-1）2ⁿ+2n²；当n≥4，n∈N^*时，3ⁿ＞（n-1）2ⁿ+2n²--（10分）