如图,AB是圆O直径,C是弧BG的中点,CD垂直AB于D,BG交CD,AC于E,F求证：（1）CF=2DE（2）OE是三角形ABF的中位线（3）若D是OB中点,则三角形CEF是等边三角形图发不上来.

Question

如图,AB是圆O直径,C是弧BG的中点,CD垂直AB于D,BG交CD,AC于E,F
求证：（1）CF=2DE
（2）OE是三角形ABF的中位线
（3）若D是OB中点,则三角形CEF是等边三角形
图发不上来.

Answer 1

证明:(2)连接BC.
弧BC=弧GC,则∠CBE=∠BAC.
AB为直径,则∠ACB=90°,又CD⊥AB.
∴∠BCE=∠BAC(均为∠ACE的余角).
∴∠BCE=∠CBE(等量代换),得CE=BE.
则∠FCE=∠CFE.(等角的余角相等),得FE=CE.
∴FE=BE.(等量代换)
又AO=BO,故OE为⊿ABF的中位线.
(3)若D为OB中点,连接OC;又CD垂直OB,则OC=BC.
∵BC=OC=OB,则⊿OBC为等边三角形.
∴∠OBC=60°,∠BAC=30°.
又CD垂直AB,则∠ACD=60°.
∵∠FCE=60°,FE=CE.
∴⊿CEF为等边三角形.