在等腰梯形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，AB=4，CD=2，AD=BC=2，现将梯形AEFD沿EF折起，并记平面AEFD与平面BEFC所成二面角的平面角为θ，BE中点为G．（1）当θ=60°时，求证：AG⊥平面AEFC；（2）

Question

在等腰梯形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，AB=4，CD=2，AD=BC=√(2)，现将梯形AEFD沿EF折起，并记平面AEFD与平面BEFC所成二面角的平面角为θ，BE中点为G．

（1）当θ=60°时，求证：AG⊥平面AEFC；
（2）当三棱锥D-CFG的体积取得最大值时，求DG与平面AEFD所成角的正切值．

Answer 1

（Ⅰ）∵AE⊥EF，BE⊥EF，
∴∠AEB是二面角AEFD与平面BEFC的平面角，即∠AEB=θ，
∵AF=BF，∠AFB=60°，△AFB为等边三角形．
又G为FB的中点，所以AG⊥FB．
在等腰梯形ABCD中，
∵E、F分别是CD、AB的中点，
∴EF⊥AB．于是EF⊥AF，EF⊥BF，则EF⊥平面ABF，
∴AG⊥EF．
又EF与FB交于一点F，
∴AG⊥平面BCEF．
（2）∵△CFG的面积是个常数，
∴要使三棱锥D-CFG的体积取得最大，
则只需D到平面EFG的距离最大，即DF⊥平面BCFE即可，
此时平面AEFD⊥平面BCFE，
∵EG⊥平面AEDF，
∴∠GDE就是DG与平面AEFD所成的角，
则tan∠GDE=(EG)/(DE)，
∵EG=(1)/(2)BE=(1)/(2)×2=1，DF=(1)/(2)DC=(1)/(2)×2=1，AD=BC=√(2)，
∴EF=1，
则DF=√(2)，
即tan∠GDE=(EG)/(DE)=(1)/(√(2))=(√(2))/(2)．