如图所示，在直三棱柱ABO-A1B1O1中，OO1=4，OA=4，OB=3，∠AOB=90°，D是线段A1B1的中点，P是侧棱BB1上的一点．若OP⊥BD，求三棱锥D-OPB的体积．

Question

如图所示，在直三棱柱ABO-A₁B₁O₁中，OO₁=4，OA=4，OB=3，∠AOB=90°，D是线段A₁B₁的中点，P是侧棱BB₁上的一点．若OP⊥BD，求三棱锥D-OPB的体积．

Answer 1

以OB所在的直线为x轴，以OA所在的直线为y轴，以OO₁所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（3，0，0）、A（0，4，0）、A₁（0，4，4），
设P（3，0，m）∵

OP

⊥

BD

∴

OP

•

BD

＝−(9)/(2)+4m＝0∴m＝(9)/(8)------------------------（6分）
即BP＝(9)/(8)-----------------------（8分）
VD−OPB＝(1)/(3)S△OPB•2＝(2)/(3)•(1)/(2)×3×(9)/(8)＝(9)/(8)-------------------------（12分）