初等数论中的整除,对正整数n,记S(n)为n的十进制表示中数码之和.证明：9/n的充分必要条件是9/S(n).

Question

初等数论中的整除,
对正整数n,记S(n)为n的十进制表示中数码之和.证明：9/n的充分必要条件是9/S(n).

Answer 1

……简单题设n为k位数则n=a1*10^(k-1)+a2*10^(k-2)+...+a(k-1)*10+ak其中a1,a2,...,ak为小于十的自然数则n=(99...9(k-1个9)+1)*a1+(99...9(k-2个9)+1)*a2+...+(9+1)*a(k-1)+ak（1） 若9|n 则(99...9(k-1个9)+1)*a1+(99...9(k-2个9)+1)*a2+...+(9+1)*a(k-1)+ak=n≡0 (mod 9)又(99...9(k-1个9))*a1≡0 (mod 9)(99...9(k-2个9))*a2≡0 (mod 9)...9*a(k-1)≡0 (mod 9)所以S(n)=a1+a2+...+ak≡0 (mod 9)即9|S(n)（2） 若9|S(n) 则S(n)=a1+a2+...+ak≡0 (mod 9)又(99...9(k-1个9))*a1≡0 (mod 9)(99...9(k-2个9))*a2≡0 (mod 9)...9*a(k-1)≡0 (mod 9)所以n=(99...9(k-1个9)+1)*a1+(99...9(k-2个9)+1)*a2+...+(9+1)*a(k-1)+ak=n≡0 (mod 9)即9|n综上命题得证