（2014•嘉兴一模）设数列{an}的前n项和为Sn，4Sn=an2+2an-3，且a1，a2，a3，a4，…，a11成等比数列，当n≥11时，an＞0．（Ⅰ）求证：当n≥11时，{an}成等差数列；（Ⅱ）求{an}的前n项和Sn．

Question

（2014•嘉兴一模）设数列{a_n}的前n项和为S_n，4S_n=a_n²+2a_n-3，且a₁，a₂，a₃，a₄，…，a₁₁成等比数列，当n≥11时，a_n＞0．
（Ⅰ）求证：当n≥11时，{a_n}成等差数列；
（Ⅱ）求{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（Ⅰ）证明：由4Sn＝an2+2an−3，4Sn+1＝an+12+2an+1−3，
两式相减得4an+1＝

a

2 n+1

−

a

2 n

+2an+1−2an，
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0…（4分）
当n≥11时，a_n＞0，∴a_n+1-a_n=2，
∴当n≥11时，{a_n}成等差数列．                 …．（7分）
（Ⅱ）由4a1＝a12+2a1−3，得a₁=3或a₁=-1
又a₁，a₂，a₃，a₄，…，a₁₁成等比数列，
∴a_n+1+a_n=0（n≤10），q=-1，
而a₁₁＞0，∴a₁＞0，从而a₁=3．
∴an＝

3(−1)n−1	(1≤n≤10)
2n−19	(n≥11)

，…．（11分）
∴Sn＝

(3)/(2)[1−(−1)n]	(1≤n≤10)
n2−18n+80	(n≥11)

．                      …．（14分）