（2014•绍兴一模）已知a为不等于0的实数，函数f（x）=（x2+ax）ex在（-∞，0）上有且仅有一个极值点x0．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）（ⅰ）求证：-2＜x0＜-1；（ⅱ）设g（x）=ax+1，若x1∈（-

Question

（2014•绍兴一模）已知a为不等于0的实数，函数f（x）=（x²+ax）e^x在（-∞，0）上有且仅有一个极值点x₀．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）（ⅰ）求证：-2＜x₀＜-1；
（ⅱ）设g（x）=(a)/(x+1)，若x₁∈（-∞，0），x₂∈[0，+∞），记|f（x₁）-g（x₂）|的最大值为M，求M的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=（x²+ax）e^x
∴f'（x）=[x²+（a+2）x-2a]e^x，
∵函数f（x）=（x²+ax）e^x在（-∞，0）上有且仅有一个极值点x₀．
∴f'（0）=a＜0；
（Ⅱ）（ⅰ）证明：令f'（x）=0，则
a＜0时，x₀=(−(a+2)−√(a2+4))/(2)=-1-(2)/(√(a2+4)−a)，
∵a＜0，∴0＜(2)/(√(a2+4)−a)＜1
∴-2＜-1-(2)/(√(a2+4)−a)＜-1
∴-2＜x₀＜-1；
（ⅱ）a＜0时，函数f（x）=（x²+ax）e^x在（-∞，0）上有且仅有一个极值点x₀．
f（x）=（x²+ax）e^x＞0在（-∞，0）上恒成立，故f（x₁）∈（0，f（x₀）]，
且g（x）=(a)/(x+1)在[0，+∞）上单调递增，故g（x₂）∈[g（0），0），
∴M=f（x₀）-g（0）=f（x₀）-a．
由f'（x₀）=0，可得a=-(x02+2x0)/(x0+1)，
∴f（x₀）=−(x02)/(x0+1)•ex0，
∴M=f（x₀）-a=−(x02)/(x作业帮用户2017-09-30举报问题解析（Ⅰ）求导数，利用函数f（x）=（x2+ax）ex在（-∞，0）上有且仅有一个极值点x0，可得f'（0）=a＜0；（Ⅱ）（ⅰ）令f'（x）=0，求出x0，即可证明；（ⅱ）M=f（x0）-g（0）=f（x0）-a，进而可得M=f（x0）-a=−(x02)/(x0+1)•ex0+(x02+2x0)/(x0+1)，求导，确定单调性，即可得出结论．名师点评本题考点：利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．考点点评：本题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)