矩阵A=BC,B列满秩,则R(A)=R(C)为什么?用分块矩阵的方法怎么解?

Question

矩阵A=BC, B列满秩, 则 R(A)=R(C)为什么?用分块矩阵的方法怎么解?

Answer 1

证明:只要证明 AX=0 与 CX=0 同解即可.
一方面,显然CX=0的解是AX=BCX=0的解.
另一方面,设X1是AX=0的解,则AX1=0.
所以 (BC)X1=0
所以 B(CX1)=0
因为 B 列满秩,所以有 CX1=0.
即X1是CX=0的解.
因此有 r(A)=r(C).