设A是m×n阶矩阵，b是m维列向量，已知AX=0只有零解，则以下错误的结论是（）A．m≥nB．AX=b必有唯一解C．A的列向量的秩=nD．A的行向量的秩=n

Question

设A是m×n阶矩阵，b是m维列向量，已知AX=0只有零解，则以下错误的结论是（　　）

A．m≥n
B．AX=b必有唯一解
C．A的列向量的秩=n
D．A的行向量的秩=n

Answer 1

选项A正确．
因为AX=0只有零解，
故利用齐次线性方程组解的判定定理可得，
m≥n．
否则，如果m＜n，则Ax=0有无穷多个零解．
选项B错误．
利用非齐次方程组解的判定定理可得，当且仅当r（A）=r（A|b）时，方程组才有唯一解．
可取反例如下：
A＝

1

1

，b=

1

2

，
此时Ax=b 没有解．
选项C正确．
因为AX=0只有零解，
故利用齐次线性方程组解的判定定理可得，
r（A）=n，
因此，A的列向量组的秩=n．
选项D正确．
由选项C的分析可得，r（A）=n，
故A的行向量组的秩=r（A）=n．
故选：B．