已知函数f（x）=x（1+a|x|），设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若[-12，12]⊆A，则a的取值范围是（1−52，0）（1−52，0）．

Question

已知函数f（x）=x（1+a|x|），设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若[-(1)/(2)，(1)/(2)]⊆A，则a的取值范围是

（(1−√(5))/(2)，0）

（(1−√(5))/(2)，0）

．

Answer 1

函数f（x）=x（1+a|x|）=

ax2+x  ，x≥0

−ax2+x  ，x＜0

，
关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若[-(1)/(2)，(1)/(2)]⊆A，
则在[-(1)/(2)，(1)/(2)]上，函数y=f（x+a）的图象应在函数y=f（x）的图象的下方．
当a=0时，显然不满足条件．
当a＞0时，函数y=f（x+a）的图象是把函数y=f（x）的图象向左平移a个单位得到的，
结合图象（右上方）可得不满足函数y=f（x+a）的图象在函数y=f（x）的图象下方．
当a＜0时，如图所示，要使在[-(1)/(2)，(1)/(2)]上，函数y=f（x+a）的图象在函数y=f（x）的图象的下方，
只要f（-(1)/(2)+a）＜f（-(1)/(2)）即可，即-a (−(1)/(2)+a)2+（-(1)/(2)+a）＜-a(−(1)/(2))2-(1)/(2)，
化简可得 a²-a-1＜0，解得 (1−√(5))/(2)＜a＜

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作业帮用户 2017-11-12 举报

问题解析

由题意可得，在[-(1)/(2)，(1)/(2)]上，函数y=f（x+a）的图象应在函数y=f（x）的图象的下方．当a=0或 a＞0时，检验不满足条件．当a＜0时，应有f（-(1)/(2)+a）＜f（-(1)/(2)），化简可得 a²-a-1＜0，解得 (1−√(5))/(2)＜a＜(1+√(5))/(2)，由此求得a的范围．

名师点评

本题考点：

绝对值不等式的解法．

考点点评：

本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识，考查数形结合思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，注意排除法在解决选择题中的应用，属于中档题．

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