（2014•韶关一模）如图所示，质量M，半径R的光滑半圆槽第一次被固定在光滑水平地面上，质量为m的小球，以某一初速度冲向半圆槽刚好可以到达顶端C．然后放开半圆槽．其可以自由运动

Question

（2014•韶关一模）如图所示，质量M，半径R的光滑半圆槽第一次被固定在光滑水平地面上，质量为m的小球，以某一初速度冲向半圆槽刚好可以到达顶端C．然后放开半圆槽．其可以自由运动，m小球又以同样的初速冲向半圆槽，小球最高可以到达与圆心等高的B点，（g=10m/s²）
试求：
①半圆槽第一次被固定时，小球运动至C点后平抛运动的水平射程X=？
②小球质量与半圆槽质量的比值m/M为多少？

Answer 1

①小球刚好可以到达顶端C，说明刚好由重力提供向心力
mg＝m(v12)/(R)
所以到达C点时的速度为v1＝√(gR)
小球由C点做平抛运动
竖直方向上的位移y＝2R＝(1)/(2)gt2
所以运动的时间为t＝√((4R)/(g))
水平方向上的位移x=v₁t=√(gR)•√((4R)/(g))＝2R
②半圆槽第一次被固定时，对小球运用动能定理−2mgR＝(1)/(2)mv12−(1)/(2)mv02
解得v02＝5gR
然后放开半圆槽后，m小球又以同样的初速冲向半圆槽，
对m、M系统根据动量守恒定律：
mv₀=（m+M）v₂
所以v2＝(mv0)/(m+M)=(m)/(m+M)√(5gR)
对m、M系统根据动能定理有：
−mgR＝(1)/(2)(m+M)v22−(1)/(2)mv02
所以−mgR＝(1)/(2)(m+M)•((m)/(m+M)√(5gR))2−(1)/(2)m•5gR
化简得(m)/(M)＝(3)/(2)
答：①半圆槽第一次被固定时，小球运动至C点后平抛运动的水平射程X=2R．
②小球质量与半圆槽质量的比值为(m)/(M)＝(3)/(2)．