（2011•绵阳二模）设椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为221，左焦点到左准线的距离为37．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C上有不同两点P、Q，且OP⊥OQ，过P、Q的直线为l

Question

（2011•绵阳二模）设椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2√(21)，左焦点到左准线的距离为3√(7)．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C上有不同两点P、Q，且OP⊥OQ，过P、Q的直线为l，求点O到直线l的距离．

Answer 1

设椭圆C的方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0），
则2b=2√(21)，b=√(21)．
由-c-（(−a2)/(c)）=3√(7)，即(a2−c2)/(c)=(b2)/(c)=3√(7)，得c=√(7)．
于是a²=b²+c²=21+7=28，椭圆C的方程为(x2)/(28)+(y2)/(21)=1．（5分）
（2）若直线l的斜率不存在，即l⊥x轴时，不妨设l与x正半轴交于点M，将x=y代入

作业帮用户 2017-10-04 举报

问题解析

设椭圆C的方程为(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0），b=√(21)．由-c-（(−a2)/(c)）=3√(7)，得c=√(7)．由此能求出椭圆C的方程．
（2）若直线l的斜率不存在，设l与x正半轴交于点M，将x=y代入(x2)/(28)+(y2)/(21)=1中，得到点P（2√(3)，2√(3)），Q（2√(3)，-2√(3)），于是点O到l的距离为2√(3)．若直线l的斜率存在，设l的方程为y=kx+m（k，m∈R），则点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）的坐标是方程组

y＝kx+m

(x2)/(28)+(y2)/(21)＝1

的两个实数解，再由根的判别式和韦达定理进行求解．

名师点评

本题考点：

椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：

本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地选用公式．

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