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(2009•广元)在平面直角坐标系xOy中,把矩形AOCB绕点A逆时针旋转α角,得到矩形ADEF,设AD与BC相交于点G,且A(-9,0),C(0,6),如图甲.(1)当α=60°时,请猜测△ABF的形状,并对你的
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(2009•广元)在平面直角坐标系xOy中,把矩形AOCB绕点A逆时针旋转α角,得到矩形ADEF,设AD与BC相交于点G,且A(-9,0),C(0,6),如图甲.
(1)当α=60°时,请猜测△ABF的形状,并对你的猜测加以证明.
(2)当GA=GC时,求直线AD的解析式.
(3)当α=90°时,如图乙.请探究:经过点F,且以点B为顶点的抛物线,是否经过矩形ADEF的对称中心H,并说明理由.
(1)当α=60°时,请猜测△ABF的形状,并对你的猜测加以证明.
(2)当GA=GC时,求直线AD的解析式.
(3)当α=90°时,如图乙.请探究:经过点F,且以点B为顶点的抛物线,是否经过矩形ADEF的对称中心H,并说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)矩形ADEF是矩形AOCB绕点A逆时针旋转α=60°角而得,
∴AF=AB.
又∵∠FAB+∠BAG=∠α+∠BAG=90°,
即∠FAB=∠α=60°.
∴△ABF为等边三角形.
(2)设CG=x,则BG=9-x,而AB=OC=6,GA=GC.
∴在Rt△AGB中,(9-x)2+62=x2.
解之得x=
.
∴点G坐标为(-
,6).
设直线AD的解析式为y=kx+b,
∵AD经过A(-9,0),G(-
,6),
∴
,
解之得
.
∴所求直线AD的解析式为:y=
x+
.
(3)据题意,∵抛物线顶点B(-9,6),又过点F(-15,0),
∴设抛物线解析式为y=a(x+9)2+6.
∴a(-15+9)2+6=0,即a=−
.
∴抛物线的解析式为y=−
(x+9)2+6.
又∵点H是矩形ADEF的对称中心,
∴H(-12,
).
将x=-12代入y=−
(x+9)2+6,得y=
.
∴抛物线要经过矩形ADEF的对称中心H.
∴AF=AB.
又∵∠FAB+∠BAG=∠α+∠BAG=90°,
即∠FAB=∠α=60°.
∴△ABF为等边三角形.
(2)设CG=x,则BG=9-x,而AB=OC=6,GA=GC.
∴在Rt△AGB中,(9-x)2+62=x2.
解之得x=
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2 |
∴点G坐标为(-
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2 |
设直线AD的解析式为y=kx+b,
∵AD经过A(-9,0),G(-
13 |
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∴
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解之得
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∴所求直线AD的解析式为:y=
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(3)据题意,∵抛物线顶点B(-9,6),又过点F(-15,0),
∴设抛物线解析式为y=a(x+9)2+6.
∴a(-15+9)2+6=0,即a=−
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∴抛物线的解析式为y=−
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又∵点H是矩形ADEF的对称中心,
∴H(-12,
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将x=-12代入y=−
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∴抛物线要经过矩形ADEF的对称中心H.
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