（2009•广元）在平面直角坐标系xOy中，把矩形AOCB绕点A逆时针旋转α角，得到矩形ADEF，设AD与BC相交于点G，且A（-9，0），C（0，6），如图甲．（1）当α=60°时，请猜测△ABF的形状，并对你的

Question

（2009•广元）在平面直角坐标系xOy中，把矩形AOCB绕点A逆时针旋转α角，得到矩形ADEF，设AD与BC相交于点G，且A（-9，0），C（0，6），如图甲．
（1）当α=60°时，请猜测△ABF的形状，并对你的猜测加以证明．
（2）当GA=GC时，求直线AD的解析式．
（3）当α=90°时，如图乙．请探究：经过点F，且以点B为顶点的抛物线，是否经过矩形ADEF的对称中心H，并说明理由．

Answer 1

（1）矩形ADEF是矩形AOCB绕点A逆时针旋转α=60°角而得，
∴AF=AB．
又∵∠FAB+∠BAG=∠α+∠BAG=90°，
即∠FAB=∠α=60°．
∴△ABF为等边三角形．

（2）设CG=x，则BG=9-x，而AB=OC=6，GA=GC．
∴在Rt△AGB中，（9-x）²+6²=x²．
解之得x＝(13)/(2)．
∴点G坐标为（-(13)/(2)，6）．
设直线AD的解析式为y=kx+b，
∵AD经过A（-9，0），G（-(13)/(2)，6），
∴

−9k+b＝0

−(13)/(2)k+b＝6

，
解之得

k＝(12)/(5)

b＝(108)/(5)

．
∴所求直线AD的解析式为：y＝(12)/(5)x+(108)/(5)．

（3）据题意，∵抛物线顶点B（-9，6），又过点F（-15，0），
∴设抛物线解析式为y=a（x+9）²+6．
∴a（-15+9）²+6=0，即a＝−(1)/(6)．
∴抛物线的解析式为y＝−(1)/(6)(x+9)2+6．
又∵点H是矩形ADEF的对称中心，
∴H（-12，(9)/(2)）．
将x=-12代入y＝−(1)/(6)(x+9)2+6，得y＝(9)/(2)．
∴抛物线要经过矩形ADEF的对称中心H．