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(2010•雅安三模)二次函数y=x2-2x+2与y=-x2+ax+b(a>0,b>0)的图象在它们的一个交点处的切线相互垂直,则1a+4b的最小值是()A.185B.165C.4D.245

题目详情
(2010•雅安三模)二次函数y=x2-2x+2与y=-x2+ax+b(a>0,b>0)的图象在它们的一个交点处的切线相互垂直,则
1
a
+
4
b
的最小值是(  )
A.
18
5

B.
16
5

C. 4
D.
24
5
▼优质解答
答案和解析
∵y=x2-2x+2∴y'=2x-2
∵y=-x2+ax+b的导函数为y'=-2x+a
设交点为(x0,y0),则 (2x0-2)(-2x0+a)=-1,2x02-(2+a)x0+2-b=0
4x02-(2a+4)x0+2a-1=0,4x02-(4+2a)x0+4-2b=0 
   2a-1-4+2b=0,a+b=
5
2
    
 
1
a
+
4
b
=(
1
a
+
4
b
)×
a+b
5
2
=[1+4+
b
a
+4
a
b
2
5
2
5
×(5+2
b
a
×
4a
b
)=
18
5

当且仅当
b
a
=4
a
b
时等号成立.
故选A.