两个形状大小完全一样的两个Rt△ACB和Rt△DCE如图放置，设两直角边BC、CE的夹角∠ECB=α，∠A=β．（1）求证：EM=BN；（2）当α、β满足什么关系时，△AMC是等腰三角形．

Question

两个形状大小完全一样的两个Rt△ACB和Rt△DCE如图放置，设两直角边BC、CE的夹角∠ECB=α，∠A=β．

（1）求证：EM=BN；
（2）当α、β满足什么关系时，△AMC是等腰三角形．

Answer 1

（1）证明：∵Rt△ACB≌Rt△DCE，
∴AC=CD，∠A=∠D，CB=CE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠DCN=∠ACM，
在△DCN与△ACM中，

∠D=∠A

CD=AC

∠DCN=∠ACM

，
∴△DCN≌△ACM，
∴CN=CM，
∴CB-CN=CE-CM，
即EM=BN；

（2）∵∠BCE=α，
∴∠ACM=90°-α，
∴①当∠MCA=∠A，即90°-α=β时，△ACM是等腰三角形，
∴当α+β=90°时，△ACM是等腰三角形，
②当∠CMA=∠A，即90°-α+2β=180°时，△ACM是等腰三角形，
∴2β-α=90°时，△ACM是等腰三角形，
③当∠MCA=∠AMC，即2（90°-α）+β=180时，△ACM是等腰三角形，
∴β=2α时，△ACM是等腰三角形．