求有关智慧数1.从1开始的正整数,第三个智慧数是哪个数?2.用文字描述其规律,并证明它

Question

求有关智慧数
1.从1开始的正整数,第三个智慧数是哪个数?
2.用文字描述其规律,并证明它

Answer 1

1、一个自然数若能表示为两个自然数的平方差,则这个自然数为“智慧数”.所以1不是智慧数、
自然数列中最小的智慧数是3,第2个智慧数是5,从5起,依次是5,7,8; 9,11,12; 13,15,16; 17,19,20······即从1开始的正整数,第三个智慧数是7
2、形如2k+1或4k的形式必为智慧数,智慧数的形式必为2k+1或4k的形式,k≥1.
以下给予推导证明：
令P=a^2 -b^2（P、a、b均为正整数）
①若a=2m（m≥1）,b=2n（n≥1）
则P=4m^2 -4n^2=4(m^2 -n^2),此时P为4k形式.
②若a=2m（m≥1）,b=2n+1（n≥0）
则P=4m^2 -4n^2-4n-1=4(m^2 -n^2 -n)-1,此时P为4k -1形式.
③若a=2m+1（m≥1）,b=2n（n≥1）
则P=4m^2+4m+1-4n^2=4(m^2+m- n^2)+1,此时P为4k+1形式.
④若a=2m+1（m≥1）,b=2n+1（n≥0）
则P=4m^2+4m+1-4n^2-4n-1=4(m^2+m- n^2-n),此时P为4k形式.
又易知4k -1,4k+1包括了所有的奇数,即（4k+1）∪（4k -1）=2k+1
故P为2k+1或4k的形式,即智慧数为2k+1或4k的形式
又2k+1=（k+1）^2 –k^2,
4k=（k+1）^2 –(k-1)^2
故形如2k+1或4k的形式必为智慧数.