（理科学生做）若函数f（x）对任意x1，x2∈D，都有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|成立，则称f（x）为D上的“收缩”函数（1）判断函数f(x)＝14x2+12x在[-1，1]上是否是“收缩”函数，并说明理由；（2

Question

（理科学生做）若函数f（x）对任意x₁，x₂∈D，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，则称f（x）为D上的“收缩”函数
（1）判断函数f(x)＝(1)/(4)x2+(1)/(2)x在[-1，1]上是否是“收缩”函数，并说明理由；
（2）是否存在k∈R，使得f(x)＝(k)/(x+2)在[-1，+∞）上为“收缩”函数，若存在，求k的范围；若不存在，说明理由；
（3）若D=[0，1]，且f（0）=f（1），且f（x）为“收缩”函数，问|f(x1)−f(x2)|≤(1)/(2)能否成立，说明理由．

Answer 1

（1）任取x₁，x₂∈[-1，1]，可得|f（x₁）-f（x₂）|
=|（(1)/(4)x12+(1)/(2)x1）-（(1)/(4)x22+(1)/(2)x2）|
=|(1)/(4)（x₁+x₂）（x₁-x₂）+(1)/(2)（x₁-x₂）|
=|x₁-x₂||(1)/(4)（x₁+x₂）+(1)/(2)|
∵x₁，x₂∈[-1，1]，∴(1)/(4)（x₁+x₂）∈[−(1)/(2)，(1)/(2)]，
∴(1)/(4)（x₁+x₂）+(1)/(2)|∈[0，1]，即|(1)/(4)（x₁+x₂）+(1)/(2)|≤1，
∴|x₁-x₂||(1)/(4)（x₁+x₂）+(1)/(2)|≤|x₁-x₂|
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|
∴函数f(x)＝(1)/(4)x2+(1)/(2)x在[-1，1]上是“收缩”函数；
（2）假设存在k∈R，使得f(x)＝(k)/(x+2)在[-1，+∞）上为“收缩”函数，
则满足对任意x₁，x₂∈[-1，+∞），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，
故|(k)/(x1+2)-(k)/(x2+2)|=|k||(x2−x1)/((x1+2)(x2+2))|≤|x₁-x₂|，
∴|k|≤|（x₁+2）（x₂+2）|，
∵x₁，x₂∈[-1，+∞），∴（x₁+2）（x₂+2）＞1，
∴|k|≤1，解得-1＜k＜1；
（3）由题意可得任取x₁，x₂∈[0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，
若取f（0）=0，f（(3)/(4)）=(3)/(4)，则必有|f（0）-f（(3)/(4)）|=(3)/(4)≤|0-(3)/(4)|，
但不满足|f(x1)−f(x2)|≤(1)/(2)，故|f(x1)−f(x2)|≤(1)/(2)不一定成立．