在△ABC中,若CE是角ACB的平分线,则AC/BC=AE/BE.把这一结论推广到空间中,类比得到相应结论是?证明结论类比四面体

Question

在△ABC中,若CE是角ACB的平分线,则AC/BC=AE/BE.把这一结论推广到空间中,类比得到相应结论是?证明结论
类比四面体

Answer 1

设四面体P-ABC,若二面角P-AC-B和二面角P-BC-A相等,P在底面ABC的射影为H,
则S△PAC/S△PBC=S△ACH/S△BCH.
证明：设二面角P-AC-B平面角为α,二面角P-BC-A平面角为β,
作PD⊥AC,垂足D,连结HD,根据三垂线定理,HD⊥AC,〈PDH是二面角P-AC-B的平面角,
S△PAC=AC*PD/2,
S△AHC=HD*AC/2,
S△AHC/S△PAC=HD/PD=cosα,
同理,S△BCH/S△PBC=cosβ,
cosα=cosβ,
S△AHC/S△PAC=S△BCH/S△PBC,
∴S△PAC/S△PBC=S△ACH/S△BCH.（更比）,证毕.