已知函数f（x）=x2-4，设曲线y=f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1，0），其中x1为正实数，n∈N*．（1）用xn表示xn+1；（2）若x1=4，记an＝lgxn+2xn−2(n∈N*)，试判断数列{an}是

Question

已知函数f（x）=x²-4，设曲线y=f（x）在点（x_n，f（x_n））处的切线与x轴的交点为（x_n+1，0），其中x₁为正实数，n∈N^*．
（1）用x_n表示x_n+1；
（2）若x₁=4，记an＝lg(xn+2)/(xn−2)(n∈N*)，试判断数列{a_n}是否是等比数列，若是求出其公比；若不是，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，设bn＝((2n+5)lg3)/(2(2n+1)(2n+3)an)，数列{b_n}的前n项和为S_n，证明：(7)/(30)≤Sn＜(1)/(3)．

Answer 1

（1）由题可得f'（x）=2x，
∴曲线y=f（x）在点（x_n，f（x_n））处的切线方程是
y-f（x_n）=f′（x_n）（x-x_n），
即y−(xn2−4)＝2xn(x−xn)，
令y=0，
得−(xn2−4)＝2xn(xn+1−xn)，
即xn2+4＝2xnxn+1，
显然x_n≠0，
∴xn+1＝(2xn2+4)/(xn)．
（2）数列{a_n}是等比数列，证明如下：
由xn+1＝(2xn2+4)/(xn)，an＝lg(xn+2)/(xn−2)得
an+1＝lg(xn+1+2)/(xn+1−2)＝lg((xn2+4)/(2xn)+2)/((xn2+4)/(2xn)−2)
=lg((xn+2)2)/((xn−2)2)＝lg((xn+2)/(xn−2))2＝2lg(xn+2)/(xn−2)＝2an，
∴(an+1)/(an)＝2，
∴数列{a_n}成等比数列，公比为2．                              
（3