我们通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．通过普通高中课程实验教科书《数学》2-1第二章《圆锥曲线与方程》章头引言我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口

Question

我们通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．通过普通高中课程实验教科书《数学》2-1第二章《圆锥曲线与方程》章头引言我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆．实际上，设圆锥母线与轴所成角为α，不过圆锥顶点的截面与轴所成角为θ．当θ=

(π)/(2)，截口曲线为圆，当α<θ<(π)/(2)时，截口曲线为椭圆；当0≤θ<α时，截口曲线为双曲线； 当θ=α时，截口曲线为抛物线；如图2，正方体ABCD-A′B′C′D′中，M为BC边的中点，点P在底面A′B′C′D′上运动并且使∠MAC′=∠PAC′，那么点P的轨迹是（　　）

A. 一段双曲线弧

B. 一段椭圆弧

C. 一段圆弧

D. 一段抛物线弧

Answer 1

P点的轨迹实际是一个正圆锥面和两个平面的交线；
这个正圆锥面的中心轴即为AC′，顶点为A，顶角的一半即为∠MAC′；
以A点为坐标原点建立空间直角坐标系，则A（0，0，1），C′（1，1，0），M（(1)/(2)，1，1），
∴

AC′

=（1，1，-1），

AM

=（(1)/(2)，1，0），
∵cos∠MAC′=(1×(1)/(2)+1×1)/(√(3)×√((1)/(4)+1))=(√(135))/(15)，
设AC′与底面A′B′C′D′所成的角为θ，则cosθ=(|A′C′|)/(|AC′|)=(√(6))/(3)=(√(150))/(15)>(√(135))/(15)，
∴θ<∠MAC′，
∴该正圆锥面和底面A′B′C′D′的交线是双曲线弧；
同理可知，P点在平面CDD′C′的交线是双曲线弧，
故选A．