在边长为1的正三角形ABC中,向量BD=xBA的模,CE=yCA的模,x＞0,y＞0且x+y=1,则CD的模×BE的模的最大值为

Question

在边长为1的正三角形ABC中,向量BD=xBA的模,CE=yCA的模,x＞0,y＞0
且x+y=1,则CD的模×BE的模的最大值为

Answer 1

【分析】
根据向量BD=xBA的模,CE=yCA的模,可得CD的模×BE的模=(CB+BD)•(BC+CE)=(CB+xBA)•(BC+yCA)=-1+(x+y+xy)/2,利用x＞0,y＞0,且x+y=1,可求CD的模×BE的模的最大值.
【解答】

由题意, CD的模×BE的模=( CB + BD )•( BC + CE )
∵ 向量BD=xBA的模,CE=yCA的模
∴ CD的模×BE的模=( CB + BD )•( BC + CE )=( CB +x BA )•( BC +y CA )=-1+(x+y+xy)/2
∵x＞0,y＞0,且x+y=1
∴xy≤1 4
∴-1+(x+y+xy)/2=-1+(1+xy)/2 ≤-3/8
当且仅当x=y=1/2 时,取等号
∴当x=y=1/2 时, CD的模×BE的模的最大值为-3/8.