已知函数f（x）=ln（1+x）-x，g（x）=xlnx．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设0＜a＜b，证明0＜g（a）+g（b）-2g（a+b2）＜（b-a）ln2．

Question

已知函数f（x）=ln（1+x）-x，g（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）设0＜a＜b，证明0＜g（a）+g（b）-2g（ (a+b)/(2) ）＜（b-a）ln2．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（-1，+∞）．
f′(x)=(1)/(1+x) -1 ．令f′（x）=0，解得x=0．
当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，当x＞0时，f′（x）＜0．又f（0）=0，
故当且仅当x=0时，f（x）取得最大值，最大值为0．
（Ⅱ）证明： g(a)+g(b)-2g((a+b)/(2) )=alna+blnb-(a+b)ln(a+b)/(2)
= aln(2a)/(a+b) +bln(2b)/(a+b) ．
由（Ⅰ）结论知ln（1+x）-x＜0（x＞-1，且x≠0），
由题设 0＜a＜b，得(b-a)/(2a) ＞0，-1＜(a-b)/(2b) ＜0 ，
因此 ln(2b)/(a+b) =-ln(1+(b-a)/(2a) )＞-(b-a)/(2a) ，
ln(2b)/(a+b) =-ln(1+(a-b)/(2b) )＞-(a-b)/(2b) ，
所以 aln(2a)/(a+b) +bln(2b)/(a+b) ＞-(b-a)/(2) -(a-b)/(2) =0 ．
又 (2a)/(a+b) ＜(a+b)/(2b) ，
aln(2a)/(a+b) +bln(2b)/(a+b) ＜ aln(a+b)/(2b) +bln(2b)/(a+b) ．=（b-a）ln (2b)/(a+b) ＜（b-a）ln2
综上 0＜g(a)+g(b)-2g((a+b)/(2) )＜(b-a)ln2 ．