已知数列{an}的前n项和为Sn,当n≥2时,点(1/S(n-1),1/Sn)在f(x)=x+2的图像上,且S1=1/2（1）求数列{an}的通项公式（2）设bn=2（1-n）an,求f（n）=b（n+2）/（n+5）b（n+1）的最大值及相应的n值（3）当n≥2时,

Question

已知数列{an}的前n项和为Sn,当n≥2时,点(1/S(n-1),1/Sn)在f(x)=x+2的图像上,且S1=1/2
（1）求数列{an}的通项公式
（2）设bn=2（1-n）an,求f（n）=b（n+2）/（n+5）b（n+1）的最大值及相应的n值
（3）当n≥2时,设Tn=b2^2+b3^2+...+b（n+1）^2,证明Tn＜1

Answer 1

设数列a(N) 由已知有a>0
其中a(1)=a (这里就是数列首项a1,括号中的1是角标,后面的也是)
则a(n+1)=a(n)^0.5+a
有a(1)=a＜a+1/2+(a+1/4)^0.5 (这个上限我是通过后面求极限求出来的)
a(2)=[a(1)]^.5+a＜[a+1/2+(a+1/4)^0.5]^0.5+a＝a+1/2+(a+1/4)^0.5
（这里有(1/2+(a+1/4))2=a+1/2+(a+1/4)^0.5）
同理a(n)＜a+1/2+(a+1/4)^0.5
对a(n+1)求导
a(n+1)'=1/{2[a(n-1)]^0.5}＞0
故a(n)单调递增
综上,数列单调递增有上限
因此数列存在极限,设这个极限为A
由a(n+1)=a(n)^0.5+a两侧取极限有
A=A^0.5+a
解得A=a+1/2+(a+1/4)^0.5
（注：这个极限就是上面我用的上限了,应该还有容易看出来的上限吧,不过反正这个极限是要求的,直接用也比较方便）
所以你求的极限就是a+1/2+(a+1/4)^0.5
如果你最后的n重外面没有a的话,结果就是1/2+(a+1/4)^0.5
（注：就此题而言下面的你可以无视.
这个结果我用Excel验证过,应该没有问题,Excel递推20项之内就能推出极限,不过表达式还是要自己算的.）