（2014•岳阳模拟）设集合M={（x，y）|x∈R，y∈R}，定义映射f：N*→M满足：对任意n∈N*都有f（n）=（xn，yn），f（n+1）=（-12xn+32a，yn+14n2−1），且f（1）=（32a，1），其中常数a＞0．（Ⅰ）求yn

Question

（2014•岳阳模拟）设集合M={（x，y）|x∈R，y∈R}，定义映射f：N^*→M满足：对任意n∈N^*都有f（n）=（x_n，y_n），f（n+1）=（-(1)/(2)xn+(3)/(2)a，y_n+(1)/(4n2−1)），且f（1）=（(3)/(2)a，1），其中常数a＞0．
（Ⅰ）求y_n的表达式；
（Ⅱ）判断x_n与a的大小．

Answer 1

（Ⅰ）由题意得
y₁=1，y_n+1=y_n+(1)/(4n2−1)
∴y_n+1-y_n=(1)/((2n−1)(2n+1))=(1)/(2)（(1)/(2n−1)-(1)/(2n+1)），
∴y_n=y₁+（y₂-y₁）+…+（y_n-y_n-1）=1+(1)/(2)（1−(1)/(3)+(1)/(3)−(1)/(5)+…+(1)/(2n−3)-(1)/(2n−1)）=1+(1)/(2)（1-(1)/(2n−1)）=(3n−2)/(2n−1)．
（Ⅱ）由题意得x_n+1=-(1)/(2)xn+(3)/(2)a，∴x_n+1-a=−(1)/(2)（x_n-a），
∵x₁=(3)/(2)a，∴x₁-a=(1)/(2)a，
∴{x_n-a}是首项为(1)/(2)a，公比为-(1)/(2)的等比数列，
∴x_n-a=(1)/(2)a•(−(1)/(2))n−1，
∵a＞0，∴当为奇数时，x_n-a＞0，x_n＞a，
当n为偶数时，x_n-a＜0，x_n＜a．