椭圆G：X2/A2+Y2/B2=1（A>B>0)的两个焦点为F1（—C,0）,F2（C,0),M是椭圆上一点,且满足F1M的向量乘以F2M的向量等于01,求离心率e的取值范围2,当离心率e取得最小值时,椭圆G经过点N（4,2根号2）,设斜率

Question

椭圆G：X2/A2+Y2/B2=1（A>B>0)的两个焦点为F1（—C,0）,F2（C,0),M是
椭圆上一点,且满足F1M的向量乘以F2M的向量等于0
1,求离心率e的取值范围
2,当离心率e取得最小值时,椭圆G经过点N（4,2根号2）,设斜率为K（K不等于0）的直线与此时的椭圆G相交于不同的两点A,B Q为AB的中点,问:A,B 两点能否关于过点P（0,-根号3/3）,Q的直线对称,若能,求出K的取值范围,若不能,请说明理由

Answer 1

（1）
F1M*F2M=0,说明向量F1M⊥F2M,则
F1M＾2＋F2M＾2＝4c^2
设点为M（x,y)则
(x-c)^2+y^2+(x+c)^2+y^2=4c^2
即x^2+y^2=c^2
又点在椭圆上故：
x^2/a^2+y^2/b^2=1,b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2
两式联立,消去y:
b^2x^2+a^2(c^2-x^2)=a^2b^2
整理得：
c^2x^2=a^2(c^2-b^2)
x^2=a^2(c^2-b^2)/c^2=a^2(2c^2-a^2)/c^2
因为点M在椭圆上,所以0≤|x|≤a,
即0≤x^2≤a^2.
∴0≤a^2(2c^2-a^2)/c^2≤a^2
即2c^2-a^2 ≥0,且(2c^2-a^2)/c^2≤1
2c^2 ≥a^2,且(2c^2-a^2)/c^2≤1
e^2≥1/2,且2-1/e^2≤1
1/2≤e^2≤1
所以√2/2≤e