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如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAB⊥底面ABCD,且∠PAB=∠ABC=90°,AD∥BC,PA=AB=BC=2AD,E是PC的中点.(Ⅰ)求证:DE⊥平面PBC;(Ⅱ)求二面角A-PD-E的余弦值.
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(Ⅰ)求证:DE⊥平面PBC;
(Ⅱ)求二面角A-PD-E的余弦值.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)证明:∵侧面PAB⊥底面ABCD,且∠PAB=∠ABC=90°,AD∥BC,
∴PA⊥AB,PA⊥AD⊥AD⊥AB,
以点A为坐标原点,建立如图所示的坐标系,设PA=AB=BC=2AD=2,则P(0,0,2),D(1,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),E(1,1,1),
∴
=(0,1,1),
=(0,2,-2),
=(2,2,-2),
∴
•
=0,
•
=0,
∴DE⊥PB,DE⊥PC,
∵PB∩PC=P,
∴DE⊥平面PBC;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知平面PAD的一个法向量
=(0,2,0).
设平面PCD的一个法向量为
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/9e3df8dcd100baa11a68980a4410b912c8fc2e3f.jpg)
∴PA⊥AB,PA⊥AD⊥AD⊥AB,
以点A为坐标原点,建立如图所示的坐标系,设PA=AB=BC=2AD=2,则P(0,0,2),D(1,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),E(1,1,1),
∴
DE |
PB |
PC |
∴
DE |
PB |
DE |
PC |
∴DE⊥PB,DE⊥PC,
∵PB∩PC=P,
∴DE⊥平面PBC;
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知平面PAD的一个法向量
m |
设平面PCD的一个法向量为
作业帮用户
2016-11-25
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看了 如图,在四棱锥P-ABCD中...的网友还看了以下:
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